いつもお世話になっております、@kenji_sさんの下記ページの3.0.x（パクリ……）版です。
CodeIgniter 2.xのDatabaseクラスを外部から利用する — A Day in Serenity (Reloaded) — PHP, FuelPHP, Linux or something
http://blog.a-way-out.net/blog/2014/01/31/use-codeigniter-database/
下記、実行結果が正常なら問題ないのですが、エラー時（テーブル名を間違ったとか）は「new CI_Controller();」など一部省略したせいか必要なクラスが読み込まれていませんと表示されました。（PHPのエラー表示設定によるかもです。）
ただ、省略してなくてもうまく動かせなったので、削除しました。
パスのとこは適当に変更が必要です。
<?php
define('ENVIRONMENT', 'development'); // 値はなんでもOK
define('APPPATH', '/var/www/html/application/');
define('BASEPATH', '/var/www/html/vendor/codeigniter/framework/system/');
require BASEPATH.'database/DB.php';
require BASEPATH.'core/Common.php';
require APPPATH.'config/database.php';
$db = DB($db['default']); // config/database.phpの設定を渡す。
// あとは
$query = $db->get('mytable');
// とか
$data = array(
'title' => 'My title',
'name' => 'My Name',
'date' => 'My date'
);
$db->insert('mytable', $data);
// などご自由に